a)

Ta có: MA=MD(gt)

mà A,M,D thẳng hàng

nên M là trung điểm của AD

Xét tứ giác ABDC có

M là trung điểm của đường chéo BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC)

M là trung điểm của đường chéo AD(cmt)

Do đó: ABDC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Xét hình bình hành ABDC có ˆBAC=900BAC^=900(ΔABC vuông tại A)

nên ABDC là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

b) Ta có: I đối xứng với A qua BC(gt)

⇔BC là đường trung trực của AI

⇔BC⊥AI tại trung điểm của AI

mà BC⊥AH tại H(gt)

và AI, AH có điểm chung là A

nên A,H,I thẳng hàng

⇔H∈AI

mà H∈BC(gt)

nên AI∩∩BC={H}

mà BC cắt AI tại trung điểm của AI(cmt)

nên H là trung điểm của AI

Xét ΔADI có

M là trung điểm của AD(cmt)

H là trung điểm của AI(cmt)

Do đó: MH là đường trung bình của ΔADI(định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇔MH//DI và MH=DI2MH=DI2(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: MH//DI(cmt)

mà M∈BC(gt)

vả H∈BC(gt)

nên BC//DI(đpcm)

c) Ta có: AC=DB(hai cạnh đối của hình chữ nhật ABDC)(1)

Xét ΔCAI có

CH là đường cao ứng với cạnh AI(CB⊥AI, H∈BC)

CH là đường trung tuyến ứng với cạnh AI(H là trung điểm của AI)

Do đó: ΔCAI cân tại C(định lí tam giác cân)

⇒CA=CI(2)

Từ (1) và (2) suy ra DB=CI

Xét tứ giác BIDC có DI//BC(cmt)

nên BIDC là hình thang(định nghĩa hình thang)

Xét hình thang BIDC có DB=CI(cmt)

nên BIDC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)