Chứng minh cung BD = cung DE; chứng minh góc CBE = 1/2 góc BAC

Chúng ta sẽ chứng minh các tính chất của tam giác cân và các cung trên đượng tròn theo các bước như sau.

**a. Chứng minh cung BD = cung DE**

Đầu tiên, vì tam giác ABC cân tại A nên chúng ta có AB = AC. Gọi O là trung điểm AB. Khi đó, AO vuông góc với BC (tính chất của tam giác cân).

Vẽ đường tròn tâm O và bán kính OA. Do AO vuông góc với BC, nên điểm D thuộc đường tròn sẽ tạo thành với OB một góc bằng nhau, tương tự với điểm E trên AC.

Khi D là giao điểm của đường tròn với BC, E là giao điểm của đường tròn với AC, và O là trung điểm của AB.
Từ đó ta có:

- Cung BD là cung bị giới hạn bởi các điểm B và D
- Cung DE là cung bị giới hạn bởi các điểm D và E

Vì điểm O là trung điểm và do tính chất của đường tròn, từ đó suy ra BC = CE và DO = OE (bán kính của đường tròn).

Do đó, chúng ta có:
\[ BD \cong DE \]

Kết luận này dẫn đến việc cung BD = cung DE.

**b. Chứng minh góc CBE = 1/2 góc BAC**

Chúng ta sử dụng định lý về góc ở tâm và góc nội tiếp.

Góc BAC là góc ở tâm của cung BC, và CBE là góc nội tiếp của cung BD. Theo định lý về góc nội tiếp, ta có:

\[
\angle CBE = \frac{1}{2} \times \angle BAC
\]

Điều này đúng vì góc CBE được tạo ra từ các điểm B, C, và E tạo thành cung BD, trong khi góc BAC là góc tạo ra từ A, B, và C ở tâm.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh cả hai phần yêu cầu: Cung BD = cung DE và góc CBE = 1/2 góc BAC.