a) ΔABC cân tại A ⇒ AB = AC; ∠ABC = ∠ACB

    ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180o 

⇒ ∠BAC + 2 . ∠ABC = 180o 

⇒      ∠ABC = 180o−∠BAC/2  (1)

Ta có: AB = AC (cmt); BD = CE (gt)

⇒ AB + BD = AC + CE

⇒    AD  = AE     

⇒ ΔADE cân tại A  ⇒ ∠ADE = ∠AED

    ∠DAE + ∠ADE + ∠AED = 180o 

⇒ ∠DAE + 2 . ∠ADE = 180o 

⇒      ∠ADE  = 180o−∠DAE/2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠ABC = ∠ADE

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị  ⇒ DE // BC

b) Ta có: ∠DBM = ∠ABC (2 góc đối đỉnh)

              ∠ECN = ∠ACB (2 góc đối đỉnh)

mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠DBM = ∠ECN

Xét ΔDMB và ΔENC có:

        ∠DMB = ∠ENC = 90o 

         BD = CE (gt)

         ∠DBM = ∠ECN (cmt)

⇒ ΔDMB = ΔENC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ DM = EN (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: ∠ABM + ∠ABC = 180o  (2 góc kề bù)

              ∠ACN + ∠ACB = 180o  (2 góc kề bù)

mà ∠ABC = ∠ACB (theo a) ⇒ ∠ABM = ∠ACN

Ta có: ΔDMB = ΔENC (theo b)

⇒ BM = CN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔABM và ΔACN có:

       AB = AC (theo a)

      ∠ABM = ∠ACN (cmt)

       BM = CN (cmt)

⇒ ΔABM = ΔACN (2 cạnh tương ứng)

⇒ ΔAMN cân tại A

d) Gọi BH ⊥AM, CK ⊥ AN

Ta có: ΔABM = ΔACN (theo c)

⇒ ∠BAM = ∠CAN (2 góc tương ứng)

Xét ΔAHB và ΔAKC có: 

       AB = AC (theo a)

        ∠AHB = ∠AKC = 90o 

        ∠BAH = ∠CAK (cmt)

⇒ ΔAHB = ΔAKC (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒ ∠HAB = ∠KAC (2 góc tương ứng)

     AH = AK (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAHI và ΔAKI có:

       AH = AK (cmt)

        AI: cạnh chung

        ∠AHI = ∠AKI = 90o 

⇒ ΔAHI = ΔAKI (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒ ∠HAI = ∠KAI (2 góc tương ứng)

⇒ AI là tia phân giác của ∠MAN  (3)

Ta có: ∠HAB = ∠KAC (cmt); ∠HAI = ∠KAI (cmt)

⇒ ∠HAI - ∠HAB = ∠KAI - ∠KAC

⇒    ∠BAI  = ∠CAI

⇒ ∠AI là tia phân giác của ∠BAC (4)

Từ (3) và (4) ⇒ AI là p/g chung cuat ∠BAC và ∠MAN