a) Vì tam giác ABC vuông tại A và B = 60 độ, ta có:

• Góc A = 90 độ
• Góc C = 30 độ

Ta có công thức định lí cosin trong tam giác ABC: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC.BC.cos(C)

Với C = 30 độ, ta có: cos(C) = cos(30 độ) = √3/2

Do đó, ta có: AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC.BC.√3/2

Vì B là góc nhọn, nên BC > 0. Vậy ta có: AB^2 < AC^2 + BC^2

Vậy AB < AC.

b) Vì BD là tia phân giác góc B, nên ta có: ∠ABD = ∠CBD = 30 độ

Ta cần chứng minh AD = DH, tức là tam giác AHD đều.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABD, ta có: BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB.AD.cos(∠ABD)

Với ∠ABD = 30 độ, ta có: cos(∠ABD) = √3/2

Do đó, ta có: BD^2 = AB^2 + AD^2 - AB.AD.√3

Tương tự, áp dụng định lí cosin trong tam giác CBD, ta có: BD^2 = BC^2 + CD^2 - BC.CD.√3

Vì BD là đường phân giác góc B, nên ta có: AB/BD = CB/BD AB = CB

Do đó, ta có: BC^2 + CD^2 - BC.CD.√3 = AB^2 + AD^2 - AB.AD.√3

Vì AB = CB và ∠ABC = 90 độ, nên ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2

Do đó, ta có: AB^2 + CD^2 - AB.CD.√3 = AB^2 + AD^2 - AB.AD.√3 + AC^2

Simplifying, ta được: CD^2 - AD^2 = AC^2 - AB.CD.√3 + AB.AD.√3

Ta có thể viết lại thành: (CD - AD)(CD + AD) = AC^2 - AB.CD.√3 + AB.AD.√3

Do đó: CD - AD = (AC^2 - AB.CD.√3 + AB.AD.√3)/(CD + AD)

Vì góc B = 60 độ, nên ta có: AC = AB.√3

Do đó: CD - AD = (AB.√3)^2 - AB.CD.√3 + AB.AD.√3)/(CD + AD) CD - AD = AB.√3(AD - CD)/(CD + AD)

Vì HD vuông góc với BC, nên ta có: HD = BD.sin(∠ABD) = BD.sin(30 độ) = BD/2

Vì BD là đường phân giác