Để tính giới hạn của biểu thức này khi n tiến đến vô cùng, ta có thể sử dụng qui tắc nhân tử - thương (hay còn gọi là qui tắc l'Hôpital) để giải quyết. Cụ thể, ta thực hiện các bước sau:

1. Chia cả tử và mẫu cho 7^n:

   lim[(5^n+1)/7^n + 2] / [4n + 3] = lim[5/7 + (5/7)^n + 2/(7^n)] / [4n/7^n + 3/7^n]

2. Áp dụng qui tắc nhân tử - thương:

   lim[5/7 + (5/7)^n + 2/(7^n)] / [4n/7^n + 3/7^n] = lim[(5/7)^n * ln(5/7) + (ln(7/5))/(7^n) - (ln(7/5))/(7^(n+1))] / [(4/7)*n + 3/(7^n)]

3. Ta thấy rằng giới hạn trên và giới hạn dưới của biểu thức ở bước 2 đều tiến tới 0 khi n tiến đến vô cùng. Áp dụng qui tắc nhân tử - thương lần nữa cho tử số và mẫu số:

   lim[(5/7)^n * ln(5/7)] / [(4/7)*n] = lim[(ln(5/7))/4 * (5/7)^n / n] = 0

   Giới hạn của biểu thức ban đầu bằng giới hạn của biểu thức ở bước 2, cũng bằng 0.

Vậy, kết quả của giới hạn của biểu thức ban đầu là 0.