Theo đề bài ta có:

BM = 3cm, CN = 4cm.

Kẻ IK song song với BC, ta có:

$\frac{BI}{IC}=\frac{AB}{AC}$ (do IB, IC là tia phân giác của góc B và góc C)

$\Rightarrow \frac{BI}{IC}=\frac{3}{4}$

Do IK song song với BC, ta có $\triangle BIN \sim \triangle CIM$ (do góc I bằng nhau, hai góc B và C lần lượt bằng nhau)

Suy ra $\frac{BM}{CN}=\frac{IM}{IN}$

$\Rightarrow \frac{3}{4}=\frac{IM}{IN}$

Ta có $MN=IM+IN$

Từ đó, $MN = BM\times\frac{IN}{CN} + CN\times\frac{IM}{BM}=\frac{3}{4}\times IN + \frac{4}{3}\times IM$.

Theo định lý phân giác ta có:

$\frac{BI}{IC}=\frac{AB}{AC}$

$\Rightarrow AB = \frac{BI}{BI + IC} \times AC$

$\Rightarrow AB = \frac{3}{7} \times AC$

Mà ta có $AN = AC - CN = AC - 4$ và $AM = AB - BM = \frac{3}{7} AC - 3$.

Áp dụng định lý Pithago ta có:

$IN^2 = AN^2 + AI^2 = (AC-4)^2 + BI^2$

$IM^2 = AM^2 + AI^2 = (\frac{3}{7} AC - 3)^2 + BI^2$

Từ đó suy ra $IN$ và $IM$, và tính được $MN$:

$IN = \sqrt{(AC-4)^2 + BI^2}$

$IM = \sqrt{(\frac{3}{7} AC - 3)^2 + BI^2}$

$MN = \frac{3}{4}\times IN + \frac{4}{3}\times IM$.

Giá trị cuối cùng của $MN$ phụ thuộc vào giá trị của $AC$, vì vậy cần thêm thông tin hoặc giả thiết để tính chính xác giá trị của $MN$.