Để rút gọn biểu thức \( A \) trong câu hỏi, ta thực hiện từng bước như sau:

Biểu thức ban đầu là:

\[
A = \left( \frac{\sqrt{y}}{x + \sqrt{xy}} + \frac{\sqrt{y}}{x - \sqrt{xy}} \right) : \frac{2\sqrt{y}}{x - y}
\]

### Bước 1: Thực hiện phép cộng trong ngoặc
Tìm mẫu số chung của hai phân số:

Mẫu số chung là \( (x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy}) = x^2 - y \).

Công thức cộng hai phân số:
\[
\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}
\]

Áp dụng vào đây ta có:
\[
\frac{\sqrt{y}(x - \sqrt{xy}) + \sqrt{y}(x + \sqrt{xy})}{(x + \sqrt{xy})(x - \sqrt{xy})} = \frac{\sqrt{y}(x - \sqrt{xy} + x + \sqrt{xy})}{x^2 - y}
\]
\[
= \frac{2x\sqrt{y}}{x^2 - y}
\]

### Bước 2: Chia cho phần còn lại
\[
A = \frac{2x\sqrt{y}}{x^2 - y} \cdot \frac{x - y}{2\sqrt{y}}
\]

### Bước 3: Rút gọn biểu thức
\[
= \frac{(2x\sqrt{y})(x - y)}{(x^2 - y)(2\sqrt{y})}
\]

Rút gọn \( 2\sqrt{y} \) với trong thời gian chuyển sang phân số trên:

\[
= \frac{x(x - y)}{x^2 - y}
\]

### Kết luận
Vậy biểu thức rút gọn là:

\[
A = \frac{x(x - y)}{x^2 - y}
\]