Để tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $M(3;-2)$ và $N(4;1)$, ta làm như sau:

Gọi điểm trên đường thẳng cần tìm là $P(x;y)$. Ta sẽ tìm phương trình tham số của đường thẳng qua $M$ và $P$, sau đó kiểm tra điểm $N$ có thuộc đường thẳng đó hay không.

Phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm $M(3;-2)$ và $P(x;y)$ là: $$\dfrac{x-3}{y+2}=\dfrac{x_P - 3}{y_P + 2}$$ Simplifies to: $$x(y_P+2)-y(x_P-3)-6=0$$

Ta cũng có thể viết phương trình đường thẳng dưới dạng $ax + by + c = 0$ bằng cách chuyển vế và đạo hàm phân số trên về dạng a và b. Trong trường hợp này, ta được: $$y+2 = \dfrac{1}{x-3}\left(x_P - 3 \right)$$ $$y = \dfrac{x_P - 3}{x - 3} - 2$$

Để kiểm tra điểm $N(4;1)$ có thuộc đường thẳng đó hay không, ta thay $x=4$ và $y=1$ vào phương trình tham số hoặc phương trình đại số. Nếu đẳng thức còn đúng sau khi thay số, thì điểm đó thuộc đường thẳng. Thay $x=4$ và $y=1$ vào phương trình tham số ta có: $$\dfrac{4-3}{1+2}=\dfrac{x_P - 3}{y_P + 2}$$ Simplifies to: $$x_P-3=3(y_P+2)$$ Thay $x=4$ và $y=1$ vào phương trình đại số ta được: $$y= \dfrac{x_P - 3}{x - 3} - 2 = -\dfrac{1}{x-3}+1$$ Vì cả hai đều đúng nên điểm $N(4;1)$ thuộc đường thẳng đi qua 2 điểm $M(3;-2)$ và $N(4;1)$.

Tóm lại, phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $M(3;-2)$ và $N(4;1)$ là: $$x(y+2)-y(x-3)-6=0$$ hoặc $$y= \dfrac{x_P - 3}{x - 3} - 2$$