Vì hình chóp tứ giác đều nên ta có độ dài cạnh đáy bằng độ dài cạnh bên: $AB=BC=CD=DA=25$ cm.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $30$ cm nên đường chéo của hình vuông có độ dài bằng $30\sqrt{2}$ cm. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$ và $M$ là trung điểm của cạnh $AB$. Ta có $OM=15$ cm.

Vì $OM$ là đường cao của tam giác đều $ABCI$ nên $OM$ cũng là đường trung trực của $CI$. Khi đó, ta có $CI=2OM=30$ cm.

Do đó, trung đoạn của hình chóp tứ giác đều là $CI/2=15$ cm.

Vậy đáp án là $\boxed{\textbf{(C) }15 \text{ cm}}$.