Để phân số N+4/N+1 nhận giá trị số nguyên, ta có thể giải quyết bài toán bằng cách tìm các giá trị nguyên của N sao cho tử số chia hết cho mẫu số cộng với 1.

Ta có phân số N+4/N+1 có thể viết lại dưới dạng N+1+3/(N+1) - 2/(N+1). Vậy để phân số này là số nguyên, thì 2/(N+1) phải là số nguyên, hay N+1 chia hết cho 2.

Vậy ta cần tìm các giá trị nguyên N sao cho N+1 chia hết cho 2. Ta có thể viết công thức như sau: N+1 = 2k (với k là số nguyên).

Đưa 2k vào công thức trên ta được: (2k-1) + 3/(2k-1) - 2/(2k-1+1)

= (2k-1) + 3/(2k-1) - 2/(2k) = M (với M là số nguyên).

Khi đó, ta cần giải phương trình 3/(2k-1) - 2/(2k) = M - (2k-1). Ta có thể tìm được các giá trị nguyên của k và tương ứng là giá trị nguyên của N.

Ví dụ, với M=4, ta cần giải phương trình: 3/(2k-1) - 2/(2k) = 7 - 2k.

Tìm số nguyên k thỏa mãn: 2k(2k-1) chia hết cho 3.

• Nếu k chia hết cho 3, ta có k = 3m, với m là số nguyên. Khi đó, 2k-1 = 6m-1 chia hết cho 3 và 3/(2k-1) là số nguyên.
• Nếu k không chia hết cho 3, ta có k = 3m+1 hoặc k = 3m+2, với m là số nguyên. Khi đó, 2k = 6m+2 hoặc 2k = 6m+4. Ta có thể kiểm tra và tìm được các giá trị k thỏa mãn 3/(2k-1) - 2/(2k) = 7 - 2k.

Vậy, để phân số N+4/N+1 nhận giá trị số nguyên, ta có thể tìm các giá trị nguyên của N bằng cách giải phương trình N+1 = 2k, sau đó kiểm tra các giá trị tương ứng của k để tìm giá trị nguyên của N.