a) Để các đường (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và tiếp xúc nhau tại 1 điểm, ta cần giải hệ phương trình sau:

1/2x^2 = x + m

Để giải phương trình này, ta chuyển vế và đưa về dạng chuẩn:

1/2x^2 - x - m = 0

Áp dụng công thức tính delta, ta có:

Δ=b^2−4.1/2.Δ=b2−4ac

Với a = 1/2, b = -1 và c = -m.

Δ=(−1)^2−4⋅12⋅(−m)=1+2m

Để đường parabol và đường thẳng cắt nhau tại hai điểm phân biệt, ta cần Δ>0Δ>0. Để đường parabol và đường thẳng tiếp xúc nhau tại một điểm, ta cần Δ=0Δ=0. Do đó, ta giải phương trình Δ=1+2m=0 để tìm giá trị của m.

1 + 2m = 0

m = -1/2

Vậy, giá trị của m để đường parabol và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt và tiếp xúc nhau tại 1 điểm là m = -1/2.

b) Để vẽ đồ thị của đường (P) và (d), ta cần tìm tọa độ của các điểm cắt nhau và tiếp xúc.

Để tìm tọa độ của điểm tiếp xúc, ta sử dụng đạo hàm của đường parabol và gán giá trị của x bằng giá trị của x của điểm cắt nhau.

y'= x

Khi đó, ta có:

1/2x^2 = x + (-1/2)

<=> 1/2x^2 - x - 1/2 = 0

Áp dụng công thức Viet để tìm giá trị của x, ta được:

x1 = -1; x2 = 1

Tọa độ của các điểm cắt nhau là:

Điểm tiếp xúc của đường (P) và (d) có tọa độ là:

Vậy, đồ thị của đường parabol và đường thẳng trong trường hợp tiếp xúc như sau:

Điểm tiếp xúc có tọa độ là (-1, -1/2).