Để tính diện tích phần hình tròn (O, R) nằm ngoài hình vuông ADBC, ta cần tính diện tích của hình tròn lớn và trừ đi diện tích của hình vuông ADBC.

Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khi đó, ta có AG = GB = R vì AB là đường kính của hình tròn.

Vì hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau, nên hình chữ nhật ABCD là một tứ giác điều hòa. Từ đó suy ra AC song song với BD. Vì vậy, tam giác AED tương đồng với tam giác AFC.

Do tam giác AED tương đồng với tam giác AFC, nên ta có:

EF/AF = DE/AC

hay EF.AC = AE².

Lại có AD² = AF.AD (do ∠AED = 90°), suy ra AF = AE²/AD.

Tương tự có CD² = CF.CE (do ∠CFD = 90°), suy ra CF = CD²/CE.

Vậy, ta có: EF.AC = AE²/AD .AC = AE²/AD .AC = AC.CD²/CE.

Do đó, EF/CE = CD²/AD.AC

Hay EF = CD².CE/AD.AC.

Để tính diện tích phần hình tròn (O,R) nằm ngoài hình vuông ADBC, ta cần tính diện tích của hình tròn lớn và trừ đi diện tích của hình vuông ADBC. Ta có:

Diện tích hình tròn lớn là: S_hình tròn = πR².

Đường chéo của hình vuông ADBC là AB, suy ra độ dài cạnh của hình vuông là AD = √2.AB. Vậy diện tích của hình vuông là:

S_hình vuông = AD² = 2.AB².

Tổng diện tích phần hình tròn (O,R) nằm ngoài hình vuông ADBC:

S = S_hình tròn - S_hình vuông

S = πR² - 2AB².

Thay giá trị AB = 2R, ta có:

S = πR² - 8R².

S = R²(π - 8)

Vậy diện tích phần hình tròn (O,R) nằm ngoài hình vuông ADBC là S = R²(π - 8).