a) Hình vuông NEKF do các đường cao cắt nhau tại H nên NH = HK và NF = KE, tức là tam giác MNE và MKF đồng dạng với tỉ số k = NE/NF = MK/MH. Ta có:
∠NHE = ∠KFE (do hai góc này bù nhau trên cùng một cạnh EF)
∠MHN = ∠NHE (do NE song song với MK)
∠MKA = ∠KFE (do hai góc này bù nhau trên cùng một cạnh EF) ∠MHK = ∠MKA (do MK song song với NE) Vậy tứ giác NEKF là tứ giác điều hòa (gọi NKEF là hình chữ nhật MỚI). Do đó, BN đi qua đường trung trực của EK và FK, tức là BN vuông góc với EF. Tương tự, BM vuông góc với EF.

b) Gọi I là giao điểm của NH và KA. Ta có IH = KA (do NHKA là hình bình hành), và OA = R (OA là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MNK). Khi đó, ta điểm chứng minh bằng cách sử dụng các tỷ số kể trên để suy ra tứ giác HIOM là tứ giác điều hòa, từ đó suy ra MA vuông góc với EF.

c) Diện tích tam giác EMH là: S = 1/2 * EM * MH * sin(∠EMH) Ta có: EM = R (do MNK nội tiếp đường tròn (O; R)), MH = NK * cos ∠MNH. Với xác định MK/MH = NE/NF = k và MK/NK^2 = constant, suy ra cos ∠MNH = k/sqrt(3). Do đó, S = 1/2 * R * NK * k/sqrt(3) = R^2 * k/(2 * sqrt(3)) Để S lớn nhất thì k cũng phải lơn nhất. Không mất tính tổng quát, ta cho MK+MN=2NK. Theo định lí Apollonius, điểm M sẽ nằm trên đường tròn tâm NK bán kính MK/2. Khi đó, tam giác MNK là tam giác đều, MK = MN = NK * sqrt(3)/2. Từ đó, k = NE/NF = NF/NK = sin 60° = sqrt(3)/2. Do đó, S lớn nhất khi MK = MN = NK * sqrt(3)/2 và k = sqrt(3)/2. Khi đó, S_max = R^2 * sqrt(3)/4.