a) Ta có $\widehat{DAB} = 90^{\circ}$ và $\widehat{ACB} = 90^{\circ}$ (vì tam giác ABC vuông tại A), nên hai tam giác DAB và ACB có chung một góc vuông. Do đó, hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp góc - góc - góc.

b) Gọi G là giao điểm của đường phân giác của góc ABC với AC. Ta có:

$\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}$ (do đường phân giác chia một góc thành hai góc bằng nhau)

$\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ (do đường cao chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng)

Từ hai phương trình trên, suy ra:

$\frac{AE}{EC} . \frac{DC}{BD} = \frac{AB}{BC} . \frac{AC}{AB}$

$\Rightarrow AE.AB = EC.BD$

Vì $CF \perp BE$, nên $CF \perp AB$ (vì $BE \parallel AC$). Do đó, tam giác BCF vuông tại F. Ta có:

$\frac{BF}{FC} = \frac{AB^2}{AC^2}$ (do đường cao chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng)

Mà $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}$ (do đường cao chia tam giác thành hai tam giác đồng dạng), nên:

$\frac{BF}{FC} = \frac{BD^2}{DC^2}$

$\Rightarrow BF.FC = BD^2$

Từ b) và c), ta có:

$AE.AB = EC.BD = BF.FC$

Do đó, tứ giác AEFB là tứ giác điều hòa. Khi đó, ta có: $\frac{AL}{LB} = \frac{AF}{FB} = \frac{EF}{EA} = \frac{EC}{EA}$

$\Rightarrow AL = LC$

Do đó, I là trung điểm của BC.

Gọi H là giao điểm của CF và AI. Ta có:

$\frac{HF}{FC} = \frac{AI}{IC} = 1$ (do I là trung điểm của BC)

$\Rightarrow HF = FC$

Vậy, ba điểm L, H, F thẳng hàng.