Để chứng minh các điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng các tính chất về góc và đường tròn, cùng với định lí Euclid về tam giác có đường trung trực.

1. Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp:
Ta cần chứng minh góc AOM bằng góc AIM. Ta có:
- Góc AOM bằng góc 90 độ, do O là trung điểm của BC.
- Góc AIM bằng góc 90 độ, do AM là tiếp tuyến đến (O) tại M.
Vậy, tứ giác AMIO là nội tiếp.

2. Chứng minh tam giác OFH đồng dạng với tam giác OEF:
Ta cần chứng minh tỉ số đường cao của hai tam giác này bằng nhau. Ta có:
- Đường cao của tam giác OFH là OH, đường cao của tam giác OEF là OE.
- Ta cần chứng minh OH/OE = FH/FE.
- Góc OFE bằng góc OCH (cùng là góc nội tiếp của hình chữ nhật OCHM).
- Góc EFO bằng góc HCO (cùng là góc nội tiếp của hình chữ nhật OCHM).
- Vậy, hai tam giác OFH và OEF có hai góc tương đương, nên chúng đồng dạng.

3. Chứng minh G luôn nằm trên một đường tròn cố định khi E thay đổi trên cung MC:
Ta cần chứng minh rằng tam giác OGF đồng dạng với tam giác OFE. Ta đã chứng minh được tam giác OFH đồng dạng với tam giác OEF ở bước trên. Vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng G là trung điểm của đoạn thẳng OH.
Ta có:
- Chứng minh được tam giác OFH đồng dạng với tam giác OEF, nên tỉ số đường cao của chúng bằng nhau.
- G là trọng tâm tam giác OFA, do đó OG/OF = 2/3.
- Ta có OH = 2OE (do O là trung điểm của BC và OE là đường cao của tam giác OCB).
Vậy, ta có được:
OG/OH = (2/3)/(2) = 1/3
OG/OE = OG/OF x OF/OE = (1/3) x 2 = 2/3
Do G là trung điểm của đoạn thẳng OH, nên tam giác OGF đồng dạng với tam giác OFE.
Vậy, G luôn nằm trên một đường tròn cố định khi E thay đổi trên cung MC.