a) Ta có MC là đường trung bình của tam giác ABC, do đó:
AC = BC
Vì MD = MC nên tam giác CMD cũng là tam giác cân tại M, do đó:
MD = CD
Vậy ta có:
AC = BC
∠MAC = ∠MCD = ∠DBM
MD = CD
Vậy tam giác MAC và tam giác DBM là hai tam giác cân có cạnh đáy bằng nhau, do đó:
∠MAC = ∠DBM

b) Ta có:
CM là đường trung bình của tam giác ABC
Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
AC + BC > 2CM
Do đó:
AC + BC > 2MC

c) Ta có:
AK = 2/3AM
Do đó:
MK = 1/3AM
Vì MN song song với AB nên ta có:
∠MNC = ∠ACB
Tương tự, ta có:
∠NMC = ∠ABC
Vì tam giác ABC vuông tại A nên ta có:
∠ACB + ∠ABC = 90°
Do đó:
∠MNC + ∠NMC = 90°
Tam giác MNC là tam giác vuông tại N, do đó:
MN² + NC² = MC²
Vì AK = 2/3AM nên ta có:
MK = 1/3AM
Do đó:
AN = AM - AK = 2/3AM
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD và đường thẳng BNK ta có:
(BI/CI) x (CK/AD) x (AN/BN) = 1
Tương đương với:
(BI/CI) x (CK/AD) x (2/3) = 1
Do đó:
BI/CI = 3CK/AD
Từ định lí Menelaus cho tam giác BDM và đường thẳng CIN ta có:
(CI/BI) x (BN/DM) x (MD/NC) = 1
Tương đương với:
(CI/BI) x (BN/DM) x (1/2) = 1
Do đó:
CI/BI = 2DM/BN
Kết hợp hai đẳng thức trên ta có:
(CI/BI) x (BI/CI) x (CK/AD) x (BN/DM) = 2
Tức là:
(3CK/AD) x (2DM/BN) = 2
Tương đương với:
CD = 3ID

Vậy ta đã chứng minh được.