a) Ta có:

• Tam giác ABE vuông tại A, vì AB vuông góc BE (do đường phân giác BE chia góc ABC thành hai góc bằng nhau).
• Tam giác KBE vuông tại K, vì KB vuông góc BE (do đường phân giác BE chia góc ABC thành hai góc bằng nhau).

Ta cần chứng minh tam giác ABE = tam giác KBE. Ta sẽ chứng minh rằng AB = KB và AE = KE.

• AB = KB: Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có AC = BC (cùng là cạnh huyền), do đó AB = BC - AC. Trong tam giác BCK, ta có BK = BC - CK. Vì E là trung điểm của CK nên CK = 2EK, suy ra BC = BE + CK = BE + 2EK. Kết hợp hai công thức trên, ta được AB = BK = BE + EK.
• AE = KE: Ta có góc BAE = góc KBE (do đường phân giác BE chia góc ABC thành hai góc bằng nhau). Hơn nữa, ta có góc AEB = góc KEB (vì AB = KB). Vì vậy, hai tam giác AEB và KEB đồng dạng, suy ra AE/KE = AB/KB = 1. Vậy AE = KE.

Từ đó, ta suy ra tam giác ABE = tam giác KBE (vì hai tam giác có hai cạnh bằng nhau và góc giữa chúng bằng nhau).

b) Để chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, CD, EK đồng quy tại một điểm, ta cần chứng minh rằng BE là đường trung trực của CD.

Ta có:

• Tam giác ABE và KBE đồng dạng (vừa chứng minh ở câu a)).
• Do đó, ta có góc EAB = góc EKB (vì đó là hai góc đồng dạng).
• Như vậy, góc EAB + góc ABC + góc KBC = 180° (vì tổng ba góc bằng 180°).
• Khi đó, ta có góc ABC = góc EAB + góc EBC = góc EKB + góc KBC + góc EBC = góc EKD + góc EBC = góc EDC (vì EK vuông góc BC và CD vuông góc BE).
• Do đó, BE là đường trung trực của CD. Vậy 3 đường thẳng AB, CD, EK đồng quy tại một điểm (điểm là giao điểm của đường trung trực BE và đường thẳng AB).