a) Ta có AM là đường trung bình của tam giác vuông ABC, nên AM vuông góc với BC và AM = MC. Gọi I là trung điểm của BC, suy ra AI song song với HK (do cả hai đều vuông góc với AE và cùng phương với BC).

Do đó, ta có hai tam giác vuông AHK và AIB đồng dạng, vì chúng có một góc vuông chung và hai góc kề bằng nhau. Vì vậy:

BH/AI = AK/IB BH/CK = AK/BH

Từ đó suy ra:

BH² = CK · IB AK² = CK · IA

Nhân cả hai vế của hai phương trình trên với nhau, ta được:

AK² · BH² = CK · IB · CK · IA

Nhưng ta có: CK · IA = AI · EK (do HK song song với AI và HK cắt AE tại K theo tỉ lệ). Nên:

AK² · BH² = CK² · IB · AI · EK

Ta cũng có: IB · AI = BI · AM = (BC/2) · AM, nên:

AK² · BH² = CK² · BC/2 · AM · EK

Mà ta có thể chứng minh được MH = MK, tức là tam giác MHK là tam giác cân tại M. Do đó, ta có AM = MK, và AM · EK = EM · AK (do EM cắt AK tại N theo tỉ lệ).

Kết hợp với biểu thức trên, ta được:

AK² · BH² = CK² · BC/2 · EM · AK

Simplifying, ta được:

AK = BH. (Đpcm)

b) Vì MH = MK (do AM là đường trung bình của tam giác ABC), ta có tam giác MHK là tam giác cân tại M.