Để đường thẳng y = (2m-1)x + 1 cắt đường thẳng y = 2x - 2 tại 1 điểm trên trục hoành, ta cần tìm giá trị của m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

    (2m-1)x + 1 = 2x - 2
    <=> (2m-3)x = -3
    <=> x = -3/(2m-3)

Vì điểm cắt nằm trên trục hoành, nên toạ độ y của nó bằng 2x - 2:

    y = 2x - 2
      = 2(-3/(2m-3)) - 2
      = (-6m + 12)/(2m-3)

Do đó, điểm cắt có tọa độ là (-3/(2m-3), (-6m + 12)/(2m-3)).

Để đường thẳng này cắt đường thẳng y = 2x - 2 tại 1 điểm trên trục hoành, ta cần điểm cắt này có toạ độ dạng (x, 0). Vậy ta cần giải phương trình:

    (-6m + 12)/(2m-3) = 0
    <=> -6m + 12 = 0
    <=> m = 2

Vậy, nếu m = 2 thì đường thẳng y = (2m-1)x + 1 cắt đường thẳng y = 2x - 2 tại 1 điểm trên trục hoành.