a/ Ta có:
- Tam giác AMD và tam giác CMB cùng có góc AMB, nên chúng đồng dạng.
- Tương tự, tam giác DMC và tam giác BMA cũng đồng dạng.
- Tam giác AMN và tam giác CMN cùng có góc MNC, nên chúng đồng dạng.
- Tương tự, tam giác DQN và tam giác BQN cũng đồng dạng.
Do đó, ta có:
- AN/NC = AM/BM (theo tỉ số đồng dạng tam giác AND và tam giác CNQ)
- DN/QC = DM/BM (theo tỉ số đồng dạng tam giác DNM và tam giác BQC)
Chia hai biểu thức trên với nhau, ta được:
(AN/NC) / (DN/QC) = (AM/BM) / (DM/BM)
Tức là:
AN.DC = ND.CM
Vậy tam giác AND và tam giác CNQ đồng dạng theo công thức tỉ số đồng dạng.
b/ Ta có:
- Tam giác ANM và tam giác CNM cùng đồng dạng (theo a/).
- Ta có AM = 6cm và AB = 10cm, suy ra BM = 4cm.
- Ta có ND = AB - AN = 10cm - AN và MC = AB - BM = 10cm - 4cm = 6cm.
Do đó, ta có:
AN/NC = AM/MC (theo tỉ số đồng dạng tam giác ANM và tam giác CNM)
Tức là:
AN/NC = 6/6
AN = NC
Chú ý rằng, từ bước trên ta có thể suy ra được: ND = MC = 6cm.
Ta cũng có:
AN/ND = AM/MN (theo tỉ số đồng dạng tam giác ANM và tam giác MND)
Tức là:
MN = (AN x ND)/AM = (AN x 6)/6 = AN
Do đó, ta có:
AN.ND = MN.NC
Vậy ta đã chứng minh được AN.ND = MN.NC.
c/ Ta có:
- Tam giác BQC và tam giác DQN đồng dạng (theo a/).
- Ta có AN.ND = MN.NC (theo b/).
Do đó, ta có:
AN/NC = ND/MC
Tức là:
AN/(10 - BM) = ND/BM
Thay AM = 6cm và BM = 4cm vào, ta được:
AN/6 = ND/4
Tức là:
AN = (3/2)ND
Thay vào biểu thức AN.ND = MN.NC, ta được:
(MN/ND) x ND^2 = (3/2)ND x NC
Tức là:
MN/ND = 3/2
Do đó, ta có:
MN = (3/2)ND = (3/2)MC
Thay vào tam giác CQB, ta được:
CQ^2 = BQ^2 + BC^2 = (BM + MN)^2 + BC^2 = (4 + (3/2)MC)^2 + AD^2
= (4 + (3/2) x 6)^2 + 9
= 289/4
Vậy độ dài CQ là:
CQ = sqrt(289/4) = 17/2
Vậy độ dài CQ là 8,5cm.