Để chứng minh a) ta sử dụng định lí đồng dạng góc (AA) trong tam giác:

• Góc AEB và góc AFC là góc vuông (do EB và FC là đường cao của tam giác ABC).
• Góc ABE và góc ACF là góc nhọn cùng nằm trong cùng một góc ABC.

Vậy ta có thể kết luận được tam giác AEB đồng dạng với tam giác AFC.

Để chứng minh b), ta sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác ABC.

Gọi AD là đường cao của tam giác ABC. Áp dụng định lí Euclid ở tam giác AEB và AFC, ta có: AD/AB = HD/BE và AD/AC = HD/CF

Từ đó ta suy ra được: HD = AD^2/AB và HD = AD^2/AC

Do đó, ta có: AD^2/AB = AD^2/AC ⇒ AD^2 × AC = AB × AD^2 ⇒ AD × AC = AB × AD (vì AD>0)

Tương tự, áp dụng định lí Euclid ở tam giác AHC và ABH, ta có: HD/HB = CD/AB và HD/HA = BD/AB

Từ đó ta suy ra được: HD = AD × BD/AB và HD = CD × HD/HB

Do đó, ta có: AD × BD/AB = CD × HD/HB ⇒ AD × BD/AB = CD × AD^2/AB^2 (vì HD = AD^2/AB) ⇒ BD/AB = CD/AD ⇒ BD/AD = CD/AB
 

Vậy ta có thể kết luận được:
AD × HB = AB × HD = AB × AD^2/AB = AD × AB
CD × HA = AB × HD = AB × AD^2/AB = AD × AB
 

Do đó, ta suy ra được: AD × HB = AB × AD và CD × HA = AB × AD

Vậy ta có thể kết luận được: AD × HB + CD × HA = AB × AD (cùng 1)

Mà ta biết rằng: HB = AB - BD và HA = AC - CD

Thay vào phương trình trên, ta được: AD × (AB - BD) + CD × (AC - CD) = AB × AD ⇒ AD × AB - AD × BD + CD × AC - CD^2 = AB × AD ⇒ AD × BD + CD^2 = AD × AC
Vậy ta có thể kết luận được: AD × BD = AD × AC - CD^2
Điều phải chứng minh là:
AD × HB = AB × DF
Ta có:
AD × HB = AD × (AB - BD) = AD × AB - AD × BD

Và từ định lí Euclid ở tam giác ACD và đường cao CF, ta có: CD/AC = FD/CF

Từ đó suy ra:

FD = CD × CF/AC
 

Tiếp tục từ đó suy ra: AB × FD = AB × CD × CF/AC

Vì trong tam giác ABC, đường cao CF và đường cao BE cắt nhau tại H nên ta có:

BE × HC = EC × HB
 

Tương tự, với tam giác ACD, ta có:

CD × AH = AD × HC

Do đó, ta có:

BE/EC = HC/HB và CD/AD = HC/AH

Kết hợp hai biểu thức trên, ta được:

BE × CD = EC × AD

Từ đó suy ra: CD/AC = BE/AB

Do đó, ta có: AB × FD = AB × CD × CF/AC = AB × CD × BE/AB = BE × CD

Từ đó, ta được:

AD × HB = AB × CD - AD × BD = AB × FD - AD × BD = AB × (FD - BD) = AB × DF

Vậy, điều phải chứng minh đã được chứng minh.