a) Ta có:

• Tam giác ABC đều nên BD = BC/2 = CE.
• Góc CEB = góc BDC = 60° (do tam giác ABC đều).
• Góc CED = góc CBD = 30° (do tam giác ABC đều).
• Góc CDE = 180° - góc CED - góc CEB = 90°.
• Từ đó suy ra tam giác DHC là tam giác nửa đều (vì DH là đường cao của tam giác DCE).
• Tương tự, ta có tam giác EKC là tam giác nửa đều.

b) Ta có:

• Trong tam giác DHC vuông tại H, ta có: CD = 2DH (vì tam giác DHC là tam giác nửa đều).
• Trong tam giác EKC vuông tại K, ta có: CE = 2EK (vì tam giác EKC là tam giác nửa đều).
• Từ hai công thức trên, suy ra CD = 2DH và CE = 2EK.
• Ta có tam giác ABC đều nên BC = AB = AC. Do đó, ta có DE ≤ AC - AD - CE = BC - BD - CE = BC - 2CE = BC - 4EK (vì CE = 2EK).
• Vậy, ta có DE ≤ BC - 4EK.
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi D, E lần lượt nằm trên đoạn thẳng BC sao cho BD = CE.

c) Ta có DE ≤ BC - 4EK. Vậy để DE đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của EK. Ta biết rằng tam giác EKC là tam giác nửa đều, nên ta có EK = CK/2. Do tam giác ABC đều, ta có CK = AC√3/3. Vậy, ta có EK = AC√3/6. Để EK đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần lấy E trùng với C, khi đó EK đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Khi đó, ta có D trùng với B, và DE = BD = BC/2.