Cho ∆ABC vuông tại B có AM là đường trung tuyến và C=45°.

Ta có:

• Trong tam giác vuông ABC, ta có AM là đường trung tuyến nên AB = AC.
• Góc C = 45 độ nên góc A = 90 - 45 = 45 độ.

Vậy số đo góc A là 45 độ.

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM=MD.

Ta có:

• AM = MD nên tam giác AMD là tam giác cân tại M.
• Góc A = 45 độ nên góc AMD = (180 - 45)/2 = 67.5 độ.
• Góc MAB = góc MBA = 45/2 độ.
• Từ đó, ta có góc AMC = 180 - góc MAB - góc AMD = 67.5 độ.
• Tương tự, ta có góc BDM = 67.5 độ.
• Vậy tam giác AMC = tam giác DMB theo góc - cạnh - góc.
• Ta có AB = AC nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABD.
• Từ đó, ta có AC/BD = AB/AD = 1/2.
• Nhân cả hai vế với BD, ta được AC = BD/2.

Gọi K là điểm BM cho BK =2/3 BM. Gọi N là giao điểm của AK và BD, I là giao điểm của CN và AD.

Ta có:

• Ta có BK = 2/3 BM nên MK = BM/3.
• Trong tam giác AMK, ta có AK là đường trung tuyến nên AK = 2AM.
• Từ đó, ta có MK = AM.
• Vậy tam giác AMK là tam giác cân tại M.
• Góc KAB = góc MAB = 45/2 độ.
• Góc KBA = 180 - góc BKM - góc KAB = 67.5 độ.
• Tương tự, ta có góc ANB = 67.5 độ.
• Ta có AC = BD/2 nên tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABD.
• Từ đó, ta có AB/AD = AC/BD = 1/2.
• Nhân cả hai vế với AD, ta được AB = AD/2.
• Vậy tam giác ABD là tam giác vuông tại B.
• Từ đó, ta có góc ADB = 90 - góc ABD = 45 độ.
• Góc NBD = góc ADB - góc ABN = 45/2 độ.