a) Để chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA, chúng ta sẽ sử dụng định lý đồng dạng của tam giác: Hai tam giác đồng dạng khi và chỉ khi có ba góc tương ứng bằng nhau hoặc ba cạnh tương ứng tỉ lệ.

1. Vì AH là đường cao nên ∠BAH = ∠ACB (cùng chắn cung BC)
2. ∠ABH = ∠ABC (cùng chắn cung AC)

Vậy tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA (theo góc - góc).

Khi hai tam giác đồng dạng, thì tỉ số các cạnh tương ứng của chúng là bằng nhau. Từ đó, ta có:

AB/BC = BH/AB 

Sắp xếp lại, ta được 2.AB = BC.BH.

b) Để tính BH và CH, chúng ta cần sử dụng định lý Pythagoras và mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác.

Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2 (vì ABC là tam giác vuông tại A)

Đặt BC = x, ta có phương trình x^2 = 15^2 + 20^2 = 625 

=> x = √625 = 25 cm 

Do tam giác ABC đồng dạng với tam giác HBA nên 

AB/BC = BH/AB 

=> BH = (AB^2)/BC = (15^2)/25 = 9 cm

CH = BC - BH = 25 cm - 9 cm = 16 cm.

Vậy, BH = 9 cm và CH = 16 cm.