Để chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị thực của m, chúng ta cần giải phương trình sau để tìm điểm giao cắt giữa d và P:

y = x^2 (1)
y = mx + 1 (2)

Đặt hai phương trình này bằng nhau ta có:

x^2 = mx + 1
⇒ x^2 - mx - 1 = 0 (3)

Đây là một phương trình bậc hai và nó sẽ có hai nghiệm phân biệt nếu và chỉ nếu delta (Δ) lớn hơn 0. Delta được tính như sau:

Δ = b^2 - 4ac

Trong trường hợp này, a = 1, b = -m, và c = -1, vì vậy:

Δ = (-m)^2 - 4*1*(-1) = m^2 + 4

Vì m^2 luôn không âm (≥ 0) cho mọi giá trị thực của m, và 4 luôn dương, m^2 + 4 sẽ luôn lớn hơn 0.

Vì vậy, Δ > 0 cho mọi giá trị thực của m, điều này chứng tỏ rằng phương trình (3) luôn có hai nghiệm phân biệt. Do đó, đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị thực của m.