a) Ta có tam giác MNP là tam giác cân tại M, vậy PM = PN. Khi kéo đường thẳng PI, ta có đường cao IN chia tam giác MNP thành hai tam giác đều. Do đó, ta có AN = AP và IN = IP. Vì AN = AP và IN = IP, nên tam giác APIN và tam giác ANKP có cạnh bằng nhau. Bên cạnh đó, chúng có cạnh chung là NP. Vậy theo nguyên lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có tam giác PIN = tam giác NKP.

b) Ta biết tam giác MNP là tam giác cân tại M, nên đường cao IN cắt cạnh NP tại trung điểm K. Vì trung điểm chia đường cao thành hai phân đoạn bằng nhau, nên NK = KP. Ta cũng đã chứng minh được AP = AN trong phần a). Vậy theo quy tắc phân giác, ta có MQ là phân giác của KM.

c) Ta đã biết tam giác MNP là tam giác cân tại M. Khi kéo đường thẳng MP, ta có đường cao NQ chia tam giác MNP thành hai tam giác cân. Do đó, ta có MQ = NP và NQ = QP. Từ đó, ta thấy tam giác APQN có hai cạnh bằng nhau và cạnh chung NP. Vậy theo nguyên lý cạnh-cạnh-cạnh, ta có APQN là tam giác cân.