Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^2 + 2sqrt(9 - x^2) + 2, ta cần tìm điểm cực trị của hàm số. Để làm được điều này, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

y = x^2 + 2sqrt(9 - x^2) + 2
y' = 2x - 4x/sqrt(9 - x^2)
y' = 0 khi và chỉ khi 2x = 4x/sqrt(9 - x^2)
⇔ sqrt(9 - x^2) = 2
⇔ 9 - x^2 = 4
⇔ x^2 = 5
⇔ x = ±sqrt(5)

Ta cần kiểm tra xem các điểm cực trị này có phải là điểm cực đại hay điểm cực tiểu của hàm số. Để làm được điều này, ta sẽ xét dấu của đạo hàm ở những vùng xung quanh các điểm cực trị.

Khi x < -sqrt(5), ta có y' < 0, nghĩa là hàm số đang giảm. Khi x > -sqrt(5) và x < sqrt(5), ta có y' > 0, nghĩa là hàm số đang tăng. Khi x > sqrt(5), ta có y' < 0, nghĩa là hàm số đang giảm.

Vậy điểm x = -sqrt(5) là điểm cực đại của hàm số, và điểm x = sqrt(5) là điểm cực tiểu của hàm số.

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta chỉ cần tính giá trị của hàm số tại hai điểm cực trị này:

y(-sqrt(5)) = (-sqrt(5))^2 + 2sqrt(9 - (-sqrt(5))^2) + 2 = 4 + 4sqrt(2)
y(sqrt(5)) = (sqrt(5))^2 + 2sqrt(9 - (sqrt(5))^2) + 2 = 4 + 2sqrt(10)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 + 2sqrt(10), và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 + 4sqrt(2).