a) Chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp trong đường tròn (O): Để chứng minh tứ giác AHKM nội tiếp trong đường tròn, ta cần chứng minh góc AMK = góc AHK.

Góc AMK là góc nằm trên cung MN và góc AHK là góc nằm trên cung AB. Do dây cung MN vuông góc với AB, ta có góc AMK = 90 độ.

Vì góc nằm trên cùng cung AB có cùng một dây cung là dây cung MN, nên góc AMK = góc AHK. Do đó, tứ giác AHKM nội tiếp trong đường tròn (O).

b) Chứng minh NB.HK = AN.HB: Ta có tứ giác AHKM nội tiếp trong đường tròn, do đó áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác AHKM, ta có: AK * HM + KH * AM = AH * KM

Vì tứ giác AHKM nội tiếp trong đường tròn, nên AH = AK và KM = AM.

Thay vào phương trình trên, ta có: AK * HM + KH * AM = AK * AM => HM + KH = AM => NH + KH = AH (vì AM = AH) => NB.HK = AN.HB (vì NH = AN và KH = HB)

Do đó, NB.HK = AN.HB.

c) Chứng minh HM là tiếp tuyến của đường tròn (O): Ta cần chứng minh góc HMN = góc MHO.

Góc HMN là góc nằm trên cung MN và góc MHO là góc nằm trên cung MO (cung chứa điểm H và tâm đường tròn).

Vì dây cung MN vuông góc với AB, nên góc HMN = 90 độ.

Vì MO là đường phân giác góc MOB (góc nằm trên cùng cung MO), nên góc MHO = góc MOB.

Do góc HMN = góc MHO và góc MOB = góc HMN, nên góc MHO = góc MOB.

Vậy HM là tiếp tuyến của đường tròn (O).