a) Chứng minh tứ giác ACEH nội tiếp:

Vì AC và AH là đường cao và đường chân của tam giác ADC, nên chúng vuông góc với nhau tại điểm C. Tương tự, BD và BH cũng vuông góc với nhau tại điểm D.

Vì vậy, tứ giác ACHD là một tứ giác chữ nhật, và do đó, góc ACD và góc AHD đều bằng 90 độ.

Từ đó, ta có: ∠ACD + ∠AHD = 90° + 90° = 180°

Như vậy, tứ giác ACEH là một tứ giác nội tiếp (có tổng các góc trong bằng 180 độ).

b) Chứng minh CB là phân giác của DCH:

Vì AC và AH là đường cao và đường chân của tam giác ADC, nên chúng vuông góc với nhau tại điểm C. Tương tự, BD và BH cũng vuông góc với nhau tại điểm D.

Vì vậy, CB là phân giác của góc DCH.

c) Chứng minh AE.AD + BE.BC = AB^2:

Vì tứ giác ACHD là một tứ giác chữ nhật, nên AC = HD và AH = CD.

Từ đó, ta có: AE.AD + BE.BC = (AC - CE).AD + BE.BC = AC.AD - CE.AD + BE.BC = AC.AD - BC.CE + BE.BC = AC.AD + BC.BE - BC.CE = AC.AD + BC.(BE - CE) = AC.AD + BC.AE = AC.AD + BC.CD (vì AE = CD) = AC.AD + BC.AH (vì AD = AH) = AC.AD + BC.AD = AC.AD + BC.AD + AC.CD (vì AD = AC) = AB^2 (do theo định lí Ptolemy, AC.CD + AD.BC = AB^2)

Như vậy, ta đã chứng minh AE.AD + BE.BC = AB^2.

d) Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại C cắt đường thẳng HE tại K. Chứng minh tam giác KCD cân tại K:

Vì nửa đường tròn (O) và tiếp tuyến tại C cùng có điểm chung C, nên góc C đối với tiếp tuyến bằng góc tạo bởi hai tiếp tuyến tại C.

Vì vậy, góc CKD = ∠ACD (do CB là phân giác của DCH theo phần b).

Từ đó, ta có ∠KCD = ∠ACD (cùng là góc đối) và ∠CKD = ∠CAD (do CK là tiếp tuyến), nên tam giác KCD cân tại K.