a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp:

Ta có AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) từ điểm A. Do đó, góc ABC và ACB là góc tiếp tuyến, và vì hai tiếp tuyến cắt nhau ở điểm A, nên góc ABC = ACB.

Từ đó, ta có tứ giác OBAC có hai góc kề nhau bằng nhau, do đó tứ giác OBAC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: AB^2 = AM.AN = OA^2 – R^2:

Gọi O là tâm của đường tròn (O). Ta có góc AMN là góc tiếp tuyến tại điểm M, nên góc AMN = 90 độ.

Do đó, tứ giác AMON là tứ giác nội tiếp trong đó AM là đường chân trực và ON là đường đường kính.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AMO, ta có: AM^2 + OA^2 = OM^2

Tương tự, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AON, ta có: AN^2 + OA^2 = ON^2

Vì OM = ON (vì là đường đường kính của đường tròn), nên ta có: AM^2 + OA^2 = AN^2 + OA^2 AM^2 = AN^2

Do đó, ta có AB^2 = AM.AN.

Từ công thức trên, ta cũng có: AB^2 = AM.AN = OA^2 - R^2.

c) Tiếp tuyến tại M và N của (O) cắt nhau tại S. Chứng minh: tứ giác OHMN nội tiếp và ba điểm S, B, C thẳng hàng.

Vì MN là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MON là góc tiếp tuyến, và vì OH là đường chéo của tứ giác OBAC nội tiếp, nên góc OHM = OCM.

Từ đó, ta có tứ giác OHMN có hai góc kề nhau bằng nhau, do đó tứ giác OHMN là tứ giác nội tiếp.

Ba điểm S, B, C thẳng hàng vì chúng nằm trên cùng một tiếp tuyến của đường tròn (O).