1. Để chứng minh tứ giác AEMF nội tiếp, ta cần chứng minh góc AEM và góc AFM là góc bù.

Góc AEM là góc giữa đường thẳng AM và tia EP, và góc AFM là góc giữa đường thẳng AM và tia FP.

Vì EP và FP là hai đường hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC tương ứng, nên góc AEM và góc AFM là góc bù.

Do đó, tứ giác AEMF là tứ giác nội tiếp.

1. Ta cần chứng minh MAF = MFE và EF//AQ.

Góc MAF và góc MFE là góc tương ứng trên cùng đường tròn (O), nên chúng bằng nhau.

Để chứng minh EF//AQ, ta cần chứng minh rằng góc FAE và góc FAQ là góc bù.

Góc FAE là góc giữa đường thẳng AE và tia FP, và góc FAQ là góc giữa đường thẳng AQ và tia FP.

Do EP và FP là hai đường hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC tương ứng, nên góc FAE và góc FAQ là góc bù.

Do đó, ta có MAF = MFE và EF//AQ.

1. Gọi T là giao điểm của PQ và EF.

Ta cần chứng minh AK.PI = QL.KM và MH luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên AD.

Vì tứ giác AEMF nội tiếp, nên góc AMF = góc AEF (cùng chắn cung trên đường tròn (O)).

Do đó, ta có: góc AKP = góc AEP = góc AMF = góc AEF = góc MFE (vì AEMF là tứ giác nội tiếp)

Tương tự, ta có: góc KQM = góc KPT = góc TFE = góc MFE (vì AEMF là tứ giác nội tiếp)

Vậy, ta có: góc AKP = góc KQM

Do đó, tứ giác AKQP là tứ giác cùng phía.

Áp dụng định lí góc ngoài của tứ giác AKQP, ta có: AK.PI = QL.KM

Đồng thời, vì AK // MQ (vì AK và MQ là hai đường chéo của tứ giác AKQM), nên theo định lí Thales, ta có: MH // AQ

Vậy, MH luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên AD.