Để chứng minh rằng S là một quan hệ thứ tự trên Z, ta cần kiểm tra ba tính chất sau:

1. Tính bắt đầu (Reflexive): Mọi phần tử a thuộc Z đều có quan hệ với chính nó theo S, tức là aSa>b với mọi b thuộc Z. Vì vậy, S là reflexive.

2. Tính đối xứng (Symmetric): Nếu aSb>b, thì bSa>a. Do đó, nếu S đối xứng, ta cần chứng minh rằng nếu aSb thì bSa. Giả sử aSb, ta có aSb>b. Vì vậy, bSa>a, do đó S là đối xứng.

3. Tính bắt buộc (Transitive): Nếu aSb>b và bSc>c, thì aSc>c. Giả sử aSb>b và bSc>c. Từ aSb>b, ta có a>b. Từ bSc>c, ta có b>c. Do đó, a>c. Vậy, S là bắt buộc.