a) Để chứng minh tứ giác AIMK nội tiếp trong một đường tròn, ta cần chứng minh góc AIM và góc MKM bằng nhau.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), ta có:
Góc BAD = Góc BCD (cùng nằm trên cung cung AB)
Góc ACB = Góc ADB (cùng nằm trên cung cung BC)
Góc BCD + Góc ADB = 90 độ (do tam giác ABC là tam giác vuông tại A)

Vì góc BAD và góc ACB là hai góc đối nhau, nên chúng bằng nhau:
Góc BAD = Góc ACB

Ta có:
Góc AIM = Góc BAD (vì IM song song với BC và giao với AB)
Góc MKM = Góc ACB (vì MK là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A)

Vậy, ta có góc AIM = góc MKM, tứ giác AIMK nội tiếp trong một đường tròn.

b) Để chứng minh EK || DK, ta cần chứng minh góc EKB = góc DKM.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), ta có:
Góc BAD = Góc BCD (cùng nằm trên cung cung AB)
Góc ADB = Góc ACB (cùng nằm trên cung cung BC)

Vì góc BAD và góc ADB là hai góc đối nhau, nên chúng bằng nhau:
Góc BAD = Góc ADB

Ta có:
Góc EKB = Góc BAD (vì EK là đối xứng của AB qua BC)
Góc DKM = Góc ADB (vì MK là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A)

Vậy, ta có góc EKB = góc DKM, do đó EK || DK.

c) Để chứng minh BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK, ta cần chứng minh góc DBK = góc DKA.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), ta có:
Góc BAD = Góc BCD (cùng nằm trên cung cung AB)
Góc ACB = Góc ADB (cùng nằm trên cung cung BC)

Vì góc BAD và góc ACB là hai góc đối nhau, nên chúng bằng nhau:
Góc BAD = Góc ACB

Ta có:
Góc DBK = Góc BAD (vì BD là tiếp tuyến với đường tròn (

O) tại B)
Góc DKA = Góc ACB (vì AK cắt đường tròn (O) tại K)

Vậy, ta có góc DBK = góc DKA, do đó BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADK.