a) Ta có:
- Trong tam giác vuông ABC, ta có góc vuông ABDH.
- Trong tam giác vuông ADH, ta có góc vuông ADBH.
Do đó, theo tính chất của góc vuông, ta có: ADAB = ADBH.
Tương tự, ta cũng có: ADHB = ADBH.
Vậy, ta có ADAB = ADHB.

b) Ta cần chứng minh AD = BD.
Xét tam giác vuông ADB và tam giác ADC.
- Trong tam giác vuông ADB, ta có góc vuông ABDH.
- Trong tam giác vuông ADC, ta có góc vuông ADCH.
Do đó, góc ABDH = góc ADCH.
Vì góc ABDH = góc ADHB (vì tam giác ADH vuông tại D), nên góc ADHB = góc ADCH.
Do hai góc này bằng nhau, nên ta có: góc BAD = góc CAD.
Vậy, ta có tam giác ABC cân tại A.
Do tam giác cân có hai cạnh bằng nhau, ta có AD = BD.

c) Để chứng minh BE || KC, ta sử dụng nguyên lí chia tỉ lệ của các đường thẳng.
Theo nguyên lý chia tỉ lệ, ta có:
BD/BC = DH/HC.
Vì tam giác ABD vuông tại A, nên BD/BC = AD/AC.
Tương tự, trong tam giác ADH vuông tại A, ta có DH/HC = AD/AC.
Vậy, ta có BD/BC = DH/HC = AD/AC.
Do đó, theo nguyên lí chia tỉ lệ, ta có BE || KC.

Để chứng minh AKDC cân tại D, ta cần chứng minh góc ADK = góc DAK.
- Trong tam giác vuông ADH, ta có góc ADKH = góc DAK (vì tam giác ADH vuông tại D).
- Trong tam giác vuông ADB, ta có góc ADKB = góc ABK (vì tam giác ADB vuông tại A).
Do đó, góc ADKH = góc DAK = góc ADKB = góc ABK.
Vậy, ta có tam giác AKD cân tại D.