Để chứng minh o, o', i, b thuộc một đường tròn và ab = bp, ta sẽ sử dụng các tính chất và quy tắc của hình học trong đường tròn và tam giác.

Đầu tiên, xét tam giác abm và tam giác abn. Ta có:

- Tam giác abm và tam giác abn đồng dạng (cùng có hai góc nhọn bằng nhau, được hình thành bởi đường tiếp tuyến chung ab và các cạnh cắt đường tròn).

Do đó, ta có:
∠mab = ∠nab (1) và ∠amb = ∠anb (2).

Tiếp theo, xét tam giác ain và tam giác ibm. Ta có:

- Tam giác ain và tam giác ibm đồng dạng (cùng có một góc nhọn bằng nhau, được hình thành bởi đường tiếp tuyến ab và cạnh cắt đường tròn).

Do đó, ta có:
∠ian = ∠ibm (3).

Từ (1), (2) và (3), suy ra:
∠mab = ∠nab = ∠ian = ∠ibm.

Điều này cho thấy các điểm o, o', i, b nằm trên cùng một đường tròn, và góc ∠mab = ∠nab = ∠ian = ∠ibm.

Tiếp theo, để chứng minh ab = bp, ta xét tam giác abp và tam giác bao quanh o. Ta có:

- Tam giác abp và tam giác bao quanh o đồng dạng (cùng có một góc nhọn bằng nhau, được hình thành bởi đường tiếp tuyến ab và cạnh cắt đường tròn).

Do đó, ta có:
∠abp = ∠bao quanh o (4).

Nhưng ta cũng biết rằng:
∠bao quanh o = ∠obp (5) (góc ở đỉnh bằng một góc nhọn bên trong tam giác cùng nằm trên cùng một cạnh).

Từ (4) và (5), suy ra:
∠abp = ∠obp.

Do đó, ab = bp (được xác định bởi đỉnh và cạnh cùng góc).

Vậy, đã chứng minh được o, o', i, b thuộc một đường tròn và ab = bp.