a/ Ta có:

• Tỉ số (AB)/(AE) = 9/6 = 3/2
• Tỉ số (AC)/(AF) = 12/8 = 3/2

Do đó, ta suy ra được rằng tam giác ABC và tam giác AFF đồng dạng với tỉ số 3/2.

b/ Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng EF, ta có:

(BH/HC) * (CE/EA) * (AF/FB) = 1

Thay giá trị và tính toán, ta được:

(BH/HC) * (4/6) * (8/1) = 1

Suy ra:

BH/HC = 3/16

Áp dụng định lí Euclid, ta có:

BH.BC = BH.(BH + HC) = BH^2 + BH.HC = BA.BF

Vì BF = AB + AF = 9 + 8 = 17, nên ta có:

BH^2 + BH.HC = 9.17

Từ phương trình (BH/HC) = 3/16, ta có:

BH = 3/19.BC

Thay vào phương trình trên, ta được:

(3/19)^2.BC^2 + (3/19).(16/19).BC^2 = 9.17

Suy ra:

BC^2 = 19^2.9.17/(3^2.16 + 3.19) = 969

Do đó, ta có:

BC = √969

Từ đó, tính được BH = 3/19.BC.

c/ Từ phần b/, ta đã tính được BC và BH.

d/ Ta có AM là phân giác của góc ABC, FN là phân giác của góc AFC. Áp dụng định lí phân giác, ta có:

(MH/HA) = (BC/BA) và (NF/FC) = (AB/AC)

Thay giá trị và tính toán, ta được:

(MH/MA) = (NF/NC) = 9/13

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (MH)/(MA) = (NF)/(NC).