Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức và kỹ thuật đơn giản.

Bắt đầu với bất đẳng thức AM-GM:
\(x^n + y^n \geq 2\sqrt{x^n y^n}\)
Áp dụng bất đẳng thức này cho mỗi cặp số \(a^7\) và \(b^7\), \(b^7\) và \(c^7\), \(c^7\) và \(a^7\), ta có:
\(a^7 + b^7 \geq 2\sqrt{a^7 b^7}\)
\(b^7 + c^7 \geq 2\sqrt{b^7 c^7}\)
\(c^7 + a^7 \geq 2\sqrt{c^7 a^7}\)

Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa cho các số \(a^5\) và \(b^5\), \(b^5\) và \(c^5\), \(c^5\) và \(a^5\), ta có:
\(a^5 + b^5 \geq 2\sqrt{a^5 b^5}\)
\(b^5 + c^5 \geq 2\sqrt{b^5 c^5}\)
\(c^5 + a^5 \geq 2\sqrt{c^5 a^5}\)

Bây giờ, kết hợp các bất đẳng thức trên, ta có:
\(\frac{a^7 + b^7}{a^5 + b^5} \geq \frac{2\sqrt{a^7 b^7}}{2\sqrt{a^5 b^5}} = \sqrt{\frac{a^7}{a^5}} \cdot \sqrt{\frac{b^7}{b^5}} = \sqrt{\frac{a^2}{b^2}} \cdot \sqrt{\frac{b^2}{a^2}} = 1\)

Tương tự, ta có:
\(\frac{b^7 + c^7}{b^5 + c^5} \geq 1\)
\(\frac{c^7 + a^7}{c^5 + a^5} \geq 1\)

Tổng cộng, ta có:
\(\frac{a^7 + b^7}{a^5 + b^5} + \frac{b^7 + c^7}{b^5 + c^5} + \frac{c^7 + a^7}{c^5 + a^5} \geq 1 + 1 + 1 = 3\)

Từ đó, ta có:
\(\frac{a^7 + b^7}{a^5 + b^5} + \frac{b^7 + c^7}{b^5 + c^5} + \frac{c^7 + a^7}{c^5 + a^5} \geq 3\)

Vì \(a^2 + b^2 + c^2\) là một số dương, ta có thể nhân cả hai vế của bất đẳng th

ức này với \(a^2 + b^2 + c^2\), mà không làm thay đổi tính chất bất đẳng thức:
\((\frac{a^7 + b^7}{a^5 + b^5} + \frac{b^7 + c^7}{b^5 + c^5} + \frac{c^7 + a^7}{c^5 + a^5})(a^2 + b^2 + c^2) \geq 3(a^2 + b^2 + c^2)\)

Từ đó, ta kết luận rằng:
\((a^7 + b^7):(a^5 + b^5) + (b^7 + c^7):(b^5 + c^5) + (c^7 + a^7):(c^5 + a^5) \geq a^2 + b^2 + c^2\)