Để phân tích đa thức \(x - 2\sqrt{x} - y + 1\) thành nhân tử, chúng ta sẽ tìm cách biểu diễn nó dưới dạng \(a^2 - b^2\) hoặc \((a-b)^2\) để áp dụng công thức khai pháp đa thức.

Bắt đầu với đa thức ban đầu:
\(x - 2\sqrt{x} - y + 1\)

Chúng ta nhận thấy có một đồng thời biến \(x\) và \(\sqrt{x}\). Để loại bỏ biến căn, ta sẽ sử dụng một biến trung gian mới, ký hiệu \(a = \sqrt{x}\). Do đó, ta có:
\(x - 2\sqrt{x} - y + 1 = a^2 - 2a - y + 1\)

Tiếp theo, ta muốn biểu diễn \(a^2 - 2a - y + 1\) dưới dạng \((a-b)^2\) hoặc \(a^2 - b^2\). Để làm điều này, chúng ta cần tìm giá trị của \(b\). Nhận thấy rằng \(-2a\) có thể viết dưới dạng \(-2\sqrt{x}\), chúng ta có thể lựa chọn \(b = \sqrt{x}\). Điều này cho phép chúng ta biểu diễn đa thức ban đầu như sau:
\(a^2 - 2a - y + 1 = (a - \sqrt{x})^2 - y + 1\)

Ở bước này, ta đã biểu diễn đa thức ban đầu thành một dạng có thể phân tích thành nhân tử. Do đó, kết quả là:
\(x - 2\sqrt{x} - y + 1 = (a - \sqrt{x})^2 - y + 1\)