a) Chứng minh tam giác MEF đồng dạng với tam giác MBA:
Ta có: Góc EMB = Góc EAF (cùng là góc nhọn, do cùng nằm trên cùng cung AB)
Góc MEB = Góc MFB (cùng là góc nghiêng, do cùng nằm trên cùng cung MB)

Do đó, theo góc đồng dạng, ta có tam giác MEF đồng dạng với tam giác MBA.

b) Với R = 5cm và góc AMB = 60 độ,
ta có: Góc MEB = 60 độ (do nửa đường tròn có góc tại tâm là góc vuông)
Góc EMB = 180 độ - góc AMB = 180 độ - 60 độ = 120 độ

Áp dụng định lý cosin trong tam giác MEB:
ME^2 = MB^2 + BE^2 - 2MBBEcos(EMB) ME^2
= (2R)^2 + (2R)^2 - 2(2R)*(2R)cos(120 độ) ME^2
= 4R^2 + 4R^2 - 8R^2(-1/2) ME^2
= 4R^2 + 4R^2 + 4R^2 ME^2
= 12R^2

Với I là trung điểm của MH, ta có MI = IH = 1/2MH Từ đó, ta có:
EF = EM + MF
= ME - MF
= ME - MI
= ME - IH
= ME - 1/2MH

Vậy, để tính EF, ta cần tìm giá trị của ME và MH. ME = √(12R^2) = √(12*(5cm)^2) = √(12*25) = √(300) = 10√3 cm

Vì I là trung điểm của MH, nên IM = MH/2
Vì tam giác IMH là tam giác vuông tại I, nên áp dụng định lý Pythagoras:
IM^2 + IH^2 = MH^2 (IM)^2 + (IM/2)^2
= MH^2 (IM)^2 + (1/4)(IM)^2
= MH^2 (5R)^2 + (5R/2)^2
= MH^2 25R^2 + 25R^2/4
= MH^2 100R^2/4 + 25R^2/4
= MH^2 125R^2/4
= MH^2 MH
= √(125R^2/4)
= √(125(5cm)^2/4)
= √(125*25/4)
= √(3125/4)
= √781.25
= 5√(125/4)
= 5(5/2)√5
= 25/2√5 cm

Vậy: EF = ME - 1/2MH = 10√3 cm - (1/2)(25/2√5) cm = 10√3 cm - 25/4√5 cm = (40√3 - 25√5)/4 cm.

Kết quả cuối cùng là EF = (40√3 - 25√5)/4 cm.