Để chứng minh rằng phương trình x^2 - 2(m+2)x + 2m + 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, ta cần kiểm tra điều kiện để delta (Δ) của phương trình lớn hơn 0.

Công thức tính delta (Δ) của phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 là: Δ = b^2 - 4ac.

Áp dụng vào phương trình đã cho, ta có: a = 1, b = -2(m+2), c = 2m + 1.

Tính delta (Δ): Δ = (-2(m+2))^2 - 4(1)(2m+1) = 4(m+2)^2 - 8m - 4 = 4m^2 + 16m + 16 - 8m - 4 = 4m^2 + 8m + 12.

Để chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, ta cần chứng minh rằng Δ > 0.

Vậy, ta có phương trình: 4m^2 + 8m + 12 > 0.

Để giải phương trình bậc hai trên, ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra dấu. Ta thử với một số giá trị của m:

- Với m = 0: 4(0)^2 + 8(0) + 12 = 12 > 0.
- Với m = -1: 4(-1)^2 + 8(-1) + 12 = 4 - 8 + 12 = 8 > 0.
- Với m = 1: 4(1)^2 + 8(1) + 12 = 4 + 8 + 12 = 24 > 0.

Với mọi giá trị của m, ta đều có 4m^2 + 8m + 12 > 0.

Vậy, phương trình x^2 - 2(m+2)x + 2m + 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.