Để tìm các giá trị của x và y thuộc Z (tức là x và y là số nguyên), ta cần giải phương trình x² = 2y² - 8y + 3.

Phương trình trên là một phương trình bậc hai. Ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông để giải phương trình này.

x² = 2y² - 8y + 3
x² - 2y² + 8y - 3 = 0

Để tiện cho việc giải phương trình, chúng ta có thể chuyển đổi thành phương trình tương đương bằng cách nhân cả hai vế của phương trình cho -1:

-x² + 2y² - 8y + 3 = 0

Để hoàn thành khối vuông, ta cần thêm vào cả hai vế của phương trình một hằng số sao cho cả hai thành phần bên trái và bên phải có thể phân tích thành khối vuông hoàn hảo. Trong trường hợp này, chúng ta có thể thêm vào 4 vào cả hai vế của phương trình:

-x² + 2y² - 8y + 3 + 4 = 4
-x² + 2y² - 8y + 7 = 4

Tiếp theo, ta có thể phân tích thành khối vuông hoàn hảo bằng cách nhóm các thành phần tương tự lại:

(-x² + 2y²) - 8y + 7 = 4
-(x² - 2y²) - 8y + 7 = 4

Bây giờ ta có thể phân tích thành khối vuông hoàn hảo:

-(x - √2y)² - 8y + 7 = 4

Tiếp theo, chúng ta chuyển các thành phần bên phải sang phía trái:

-(x - √2y)² = 4 + 8y - 7
-(x - √2y)² = 8y - 3

Vì ta đang tìm các giá trị của x và y thuộc Z, nên ta xét các giá trị nguyên của 8y - 3 để tìm các giá trị phù hợp. Ta có:

8y - 3 = 0 => 8y = 3 => y = 3/8

Tuy nhiên, y không thuộc Z với giá trị y = 3/8.

Vì vậy, phương trình x² = 2y² - 8y + 3 không có giá trị nguyên của x và y thỏa mãn yêu cầu.