Chọn A
Để giải bất phương trình ln(1 + x) + xe^x ≥ 0, ta cần phân tích các trường hợp sau:

1. Trường hợp x = 0: Ta thấy rằng khi x = 0, ta có ln(1 + x) + xe^x = 0 + 0 = 0. Vậy x = 0 là một nghiệm của bất phương trình.

2. Trường hợp x > 0: Ta chia bất phương trình cho e^x và được:

ln(1 + x)/e^x + x ≥ 0

Ta nhận thấy rằng hàm số f(x) = ln(1 + x)/e^x là một hàm lồi trên khoảng (0, +∞), do đó ta áp dụng bất đẳng thức Jensen và được:

f(x) ≥ ln[(1 + x)/e^x] = ln(1 + x) - x

Do đó, ta có:

ln(1 + x)/e^x + x ≥ ln(1 + x) - x + x = ln(1 + x)

Vậy điều kiện x > 0 thỏa mãn bất phương trình.

1. Trường hợp x < -1: Ta chia bất phương trình cho ln(1 + x) và được:

1 + x/ln(1 + x) + xe^x/ln(1 + x) ≥ 0

Ta nhận thấy rằng hàm số g(x) = x/ln(1 + x) là một hàm lồi trên khoảng (-1, +∞), do đó ta áp dụng bất đẳng thức Jensen và được:

g(x) ≥ (x + 1)/ln 2

Do đó, ta có:

1 + x/ln(1 + x) + xe^x/ln(1 + x) ≥ 1 + (x + 1)/ln 2

Ta cần chứng minh rằng (x + 1)/ln 2 - xe^x/ln(1 + x) > 0 với mọi x < -1. Ta có:

(x + 1)/ln 2 - xe^x/ln(1 + x) = (x + 1)/ln 2 - x/e^{|x|}/ln(1 + |x|)

Đạo hàm của hàm số này là:

[(e^{|x|}/ln(1 + |x|))^2 - 1]/e^{|x|}

Ta nhận thấy rằng đạo hàm này luôn dương trên khoảng (-∞, -1), do đó hàm số (x + 1)/ln 2 - xe^x/ln(1 + x) là một hàm tăng trên khoảng (-∞, -1). Vậy điều kiện