a,

I là trung điểm AC và IN//AB nên IN là đường trung bình trong tam giác ABC

Suy ra N là trung điểm BC

I là trung điểm AC và IM//BC nên IM là đường trung bình trong tam giác ABC

Suy ra M là trung điểm BA

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AC và MN=1/2 AC=5 (cm) 

b,

MN// AC nên AMNC là hình thang

Mặt khác AM=1/2AB=1/2BC=CN

MN<AC nên AMNC là hình thang cân

IN //AB hay IN//BM

IM//BC hay IM//BN nên IMBN là hình bình hành

Mặt khác ABC cân tại B nên BI vuông góc với AC hay BI vuông góc với MN

Do đó IMBN là hình thoi

c,

IMBN là hình thoi nên O là trung điểm IB và MN

Tứ giác BICK có hai đường chéo BC và IK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên BICK là hình bình hành

Do đó BK//IC//AI và BK=IC=IA

hay ABKI là hình bình hành

O là trung điểm của BI nên O cũng là trung điểm AK

Do vậy A,O,K thẳng hàng