Để chứng minh \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \) trong hình thang \( ABCD \) (với \( AB \parallel CD \)), ta có thể sử dụng định lý về tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

### Chứng minh:

1. **Chọn tọa độ cho các điểm:**
- Giả sử \( AB \) và \( CD \) nằm trên trục hoành, với \( A(a, 0) \), \( B(b, 0) \), \( C(c, h) \), \( D(d, h) \).

2. **Tính tọa độ điểm O:**
- Từ đó, đường chéo \( AC \) có phương trình và đường chéo \( BD \) cũng có phương trình.
- Từ phương trình các đường thẳng, ta có thể tìm tọa độ điểm giao nhau \( O \).

3. **Sử dụng định lý tỉ lệ:**
- Trong tam giác \( AOB \) và \( COD \), từ tính chất tỉ lệ đoạn thẳng do hai đường thẳng cắt nhau, ta có:
\[
\frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD}
\]
- Từ đó, nhân chéo, ta được:
\[
OA \cdot OD = OB \cdot OC
\]

### Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh rằng \( OA \cdot OD = OB \cdot OC \) trong hình thang \( ABCD \), tức là sản phẩm của hai đoạn thẳng từ điểm giao nhau của hai đường chéo đến các đỉnh đối diện đều bằng nhau.