Để chứng minh AI vuông góc với HM, ta sẽ sử dụng các thuộc tính và định lí của tam giác và đường tròn nội tiếp.

Ta biết rằng trong tam giác nội tiếp, đường cao là đường phân giác của góc tại đỉnh tương ứng với cạnh đối diện. Vì vậy, ta có:

1. Góc BAC là góc giữa đường tiếp tuyến BC và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
2. Góc BHC là góc giữa đường cao BH và đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vì góc BAC và góc BHC cùng chắn cung cùng trên cung BC, nên chúng bằng nhau (theo tính chất cung cùng tròn).

Giả sử giao điểm của AK với HM là điểm X.

Ta có:
1. Trong tam giác ABC, đường cao AH là đường phân giác góc BAC, nên AM = MC (theo định lí phân giác).
2. Trong tam giác ABC, đường cao AH là đường phân giác góc BAC, nên AN = NB (theo định lí phân giác).
3. Trong tam giác ANM, ta có hai cạnh đối nhau AN = NB và AM = MC, nên ta có AM//BC và AN//BC.
4. Do đó, theo định lí Ta-lét, ta có A, X, K thẳng hàng.

Từ đó, ta có AX//HM và AI là đường chéo của tứ giác AXMK.

Vì AX//HM, nên ta có góc AIX = góc HMI (do cặp góc đồng quy). Nhưng góc HMI là góc vuông (HM là đường cao), nên góc AIX cũng là góc vuông.

Vậy, ta đã chứng minh AI vuông góc với HM.