Để chứng minh AI vuông góc với HM, ta cần sử dụng các tính chất của tam giác nối tiếp và các góc trong tam giác.

Đầu tiên, ta sẽ chứng minh MNCB là tứ giác nội tiếp. Vì điểm N, M, B, C nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, nên ta có:

∠CMB = ∠CNB = ∠CAB (cùng chắn cung CB trên đường tròn ngoại tiếp)
∠MNC = ∠ABC (đồng vị)

Vậy, MNCB là tứ giác nội tiếp.

Tiếp theo, ta xét tứ giác HMIC. Ta có:

∠HIC = ∠HBC = ∠HNC (cùng chắn cung HB trên đường tròn ngoại tiếp MNCB)
∠HMI = ∠HNI = ∠HCI (cùng chắn cung HI trên đường tròn ngoại tiếp MNIC)

Từ đó, ta có:

∠HMI + ∠HIC = ∠HCI + ∠HNC = 180°

Vậy, tứ giác HMIC là tứ giác có tổng các góc bằng 180°, tức là tứ giác lồi. Do đó, ta có:

∠HMI + ∠HIC = 180°

Tuy nhiên, ∠HMI = ∠HMC (vì MNCB là tứ giác nội tiếp)

Vậy, ta có:

∠HMC + ∠HIC = 180°

Như vậy, ta có một tứ giác HMIC có tổng các góc bằng 180°. Vì vậy, tứ giác HMIC là tứ giác lồi.

Từ tính chất của tứ giác lồi, ta biết rằng tổng hai góc ở đỉnh của tứ giác lồi là 180°. Vậy, ta có:

∠HMI + ∠HIC = 180°

Nhưng ta đã chứng minh được rằng ∠HMI + ∠HIC = 180°. Do đó, ta có:

∠HMI + ∠HIC = ∠HMI + ∠HIC

Từ đó, suy ra:

∠HMI = ∠HIC

Vậy, ta có ∠HMI = ∠HIC.

Theo tính chất của tam giác nối tiếp, ta biết rằng góc nội tiếp tại đỉnh của tam giác nối tiếp bằng một nửa góc ngoại tiếp tại đỉnh. Vậy, ta có:

∠BAC = ∠HMI (góc nội tiếp tại đỉnh của tam giác ABC)
∠HIC = ∠HIC (góc

 ngoại tiếp tại đỉnh của tam giác MNCB)

Như vậy, ta có:

∠BAC = ∠HMI = ∠HIC

Và do ∠HMI = ∠HIC, ta suy ra:

∠BAC = ∠HIC

Từ đó, ta thấy rằng AI song song với BC (do chúng có cùng góc thuộc ABC) và cắt HM tại giao điểm I. Do đó, ta có AI vuông góc với HM.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng AI vuông góc với HM.