A= 9 + 99 + 999 +... +99...9

                                ( 2020 chữ số 9 )  

A= ( 10 -1 ) + ( 100 -1)  + ( 1000-1 ) + ... +  ( 10..0  - 1 )

                                                                 ( 2020 chữ số 0  )

A= ( 10 + 100 + 1000 + 10...0 )   -          ( 1+ 1+ 1+ ... + 1 )

                                 ( 2020 chữ số 0)     (    2020 chữ số 1 )     

A= 111...11110 - 2020 

    ( 2019 chữ số 1 )  

A= 11...09090 ( 2015 chữ số 1 )

Ta có thể viết A dưới dạng tổng sau:
A = 9 + 99 + 999 + … + 999…9
= 91 + 911 + 9111 + … + 9(10^n-1)/9
= 9*(1 + 11 + 111 + … + (10^n-1)/9)

Để tính tổng 1 + 11 + 111 + … + (10^n-1)/9, ta sẽ chia tổng này thành nhiều phần và tính tổng của từng phần.

Phần thứ nhất là 1, phần thứ hai là 10 + 1 = 11, phần thứ ba là 100 + 10 + 1 = 111, và cứ tiếp tục như vậy. Ta có thể thấy rằng phần thứ i có giá trị là (10^i - 1)/9.

Vậy tổng của các phần này là:
1 + 11 + 111 + … + (10^n-1)/9 = (1 + 10 + 100 + … + 10^(n-1)) / 9
= (10^n - 1) / 9

Quay lại với A, ta có:
A = 9*(1 + 11 + 111 + … + (10^n-1)/9)
= 9*((10^n - 1) / 9)
= 10^n - 1

Vậy tổng tất cả các chữ số của A là tổng các chữ số của số 10^n - 1. Ta có thể tính được rằng:
10^n - 1 = 999…9 (n chữ số)
Vậy tổng tất cả các chữ số của A là n*9.