a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp:

Vì BF là đường cao của tam giác ABC, nên góc ABF và góc ACF là vuông. Do đó, tứ giác BFHD có hai góc đối vuông là góc ABF và góc ACF. Vì hai góc vuông có tổng bằng 180 độ, nên tứ giác BFHD nội tiếp.

Từ việc tứ giác BFHD nội tiếp, ta có:
góc AHC = góc DHF (cùng nằm trên cùng một cung HFD)
góc ABC = góc DCF (cùng nằm trên cùng một cung DCF)
Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O), nên góc ABC = góc ADC (cùng nằm trên cùng một cung ADC)
Do đó, góc AHC = góc DHF = góc ADC = 180 độ - góc ABC.

b) Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp:

Gọi P là điểm đối xứng của B qua AC. Khi đó, tứ giác PBMC là hình bình hành do có hai cạnh BM và PC song song và bằng nhau. Vì N là điểm đối xứng của M qua AC, nên tam giác HNC cũng là tam giác đối xứng của tam giác HPC qua AC. Do đó, ta có HC = HN.

Vì góc AHC = 180 độ - góc ABC, và góc HNC là góc đối diện với góc AHC, nên góc HNC = góc ABC.

Do đó, tứ giác AHCN nội tiếp.

c) Chứng minh góc AJI = góc ANC và OA vuông JI:

Vì AHCN nội tiếp, nên góc ANC là góc trong cùng của cùng một cung AH. Do đó, góc AJI (cùng nằm trên cùng một cung AJ) cũng bằng góc ANC.

Vì tứ giác ABCD nội tiếp (O), nên góc AOB là góc trong cùng của cùng một cung AD. Do đó, OA vuông JI (cùng nằm trên cùng một cung AJ).

Do đó, chứng minh được góc AJI = góc ANC và OA vuông JI.