a) Để chứng minh tứ giác CEKB nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc CEB + góc CKB bằng 180 độ.

Vì CE là tiếp tuyến của nửa đường tròn, nên góc CEB là góc vuông.

Góc CKB là góc giữa đường thẳng CK và tia By. Vì đường thẳng CK vuông góc với CI tại C, nên góc CKB cũng là góc vuông.

Vậy tứ giác CEKB có hai góc vuông, tức là tứ giác này là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh AI × BK = AC × CB, ta có:

Vì CEKB là tứ giác nội tiếp, nên góc ACB = góc EKB (cùng là góc chắn cung CB trên nửa đường tròn).

Góc AIC và góc BKC là góc nội tiếp của cùng một cung CK trên nửa đường tròn, nên chúng có cùng độ lớn, tức là góc AIC = góc BKC.

Vì góc ACB = góc EKB và góc AIC = góc BKC, ta có hai tam giác ACB và EKB là hai tam giác đồng dạng (có hai góc bằng nhau).

Do đó, ta có tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
AC/CB = EK/KB

Vì AI là đường cao của tam giác ACB và BK là đường cao của tam giác EKB, nên ta có:
AI/AC = BK/EK

Khi nhân cả hai tỉ số trên hai phía, ta được:
AI × BK = AC × CB

Vậy AI × BK = AC × CB.

c) Để chứng minh điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB, ta cần chứng minh rằng góc CEB = 90 độ.

Vì CE là tiếp tuyến của nửa đường tròn, nên góc CEB là góc vuông.

Vậy điểm E nằm trên nửa đường tròn đường kính AB.