Để chứng minh các phần a), b), và c) trong bài toán, ta cần sử dụng các kiến thức về hình học tam giác và các tính chất của đường tròn. Dưới đây là cách chứng minh từng phần của bài toán:

a) Để chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp đường tròn, ta cần chứng minh tứ giác này có tổng các góc trong bằng 360 độ. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC là góc vuông. Do đó, góc BAC có giá trị 90 độ. Từ đó, ta có góc BMC là góc nội tiếp của đường tròn, và góc BNC là góc ngoại tiếp của đường tròn. Vì tổng các góc trong một đa giác là 180 độ, nên tứ giác ABNM có tổng các góc trong bằng 360 độ. Tương tự, ta có thể chứng minh tứ giác ABCI cũng nội tiếp đường tròn.

b) Để chứng minh NM là tia phân giác của góc ANI, ta cần chứng minh rằng góc ANM và góc INM có cùng giá trị. Ta biết rằng tứ giác ABNM là nội tiếp đường tròn, nên góc NBM và góc NAM là cặp góc đồng quy. Từ đó, ta có góc NBM = góc NAM. Do tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên góc BAC là góc vuông. Khi kết hợp với góc NBM = góc NAM, ta suy ra góc ANM = góc INM. Vì vậy, NM là tia phân giác của góc ANI.

c) Để chứng minh KH // EN, ta cần sử dụng các tính chất của tứ giác và đường tròn. Gọi G là giao điểm của BM và (O). Ta có tứ giác BCGM nội tiếp đường tròn vì góc BGC là góc nội tiếp của đường tròn. Từ đó, ta có góc HGM = góc BCM (do góc nội tiếp và góc cùng nằm trên cùng một tia). Góc BCM = góc ACM (do ABC là tam giác vuông tại A), và góc ACM = góc AME (do AM là tiếp tuyến của đường tròn và góc nội tiếp). Vậy ta suy ra góc HGM = góc AME.

Tương tự

, ta có tứ giác AECI nội tiếp đường tròn vì góc ACE là góc nội tiếp của đường tròn. Từ đó, ta có góc ECI = góc ACB (do góc nội tiếp và góc cùng nằm trên cùng một tia). Góc ACB = góc ABC (do tam giác ABC là tam giác vuông tại A), và góc ABC = góc ABE (do AB là tiếp tuyến của đường tròn và góc nội tiếp). Vậy ta suy ra góc ECI = góc ABE.

Khi kết hợp các thông tin trên, ta thấy góc HGM = góc AME và góc ECI = góc ABE. Từ đó, ta có thể kết luận rằng KH // EN (do cặp góc đồng quy tương ứng).

Như vậy, qua quá trình chứng minh, ta đã xác định được các phần a), b), và c) trong bài toán.